第一百八十章：用世界级数学难题来检验自己的学习
向德利涅教授请了一周的假期后，徐川潜在宿舍中整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸。
这次整理，就不是粗略的过一遍了。
而是详细的去学习这些稿件中的知识，将其吸收转化成自己的智慧。
一名菲尔兹奖临终前的遗留，尽管只是一部分，也足够一个普通的数学家研究数年甚至是半生了。
对于徐川而言，这些遗留的稿纸中的计算并不是什么珍贵的东西，有数学基础，很多人都能计算推衍出来。
但这些公式与笔迹中遗留的思想和数学方法与路线，却弥足珍贵。
这些东西，哪怕还未成型，仅仅只是一些思路，也是很多数学家终一生都不见得能做出来的成果。
毕竟在所有的自然科学中，若要说依赖天赋的程度，数学无疑是站在金字塔尖的独一档。
哪怕是物理和化学，在依赖天赋的程度上都略逊色于数学。
可以说没有什么其他学科比数学更吃天赋了。
这是一门需要强大逻辑思维才能‘真正’学好的科目。
数学问题往往需要你发挥一定的创造力，从而解决陌生的问题。
如果老师的水平不够，而你又没能自己找到正确的方法和方向，很有可能白努力，越学越崩溃。
不止要有正向思维还要有逆向思维，在每个知识类别都有很多的公式，而这些公式之间却还有着巧妙的联系；记忆、计算、论证、空间、灵活、转变、各种你能在其他科目上找到的技巧几乎全部都会在数学上体现。
很多网友说，被数学支配的恐惧与年龄无关，从小时候自己学习怕，长大后辅导孩子依旧还怕。
也有网友说，人被逼急了什么事都能做得出来，数学题除外。
尽管这只是一些玩笑话，但数学确实是一门没有天赋、无法学好的学科。
或许你能在大学之前，依靠各种题海战术，名师的讲解拿到高考的满分，但进入大学或者更深入的学习后，你很快就会跟不上节奏。
哪怕花费再多的时间，尽最大努力，也不一定能理解某些数学主题的含义，也无法学习应用那些比高中更复杂的定理和公式。
比如勾股定理，这是进入初中就会学习的东西。
勾三股四弦五。
这是很多人的回忆。
然而很多人也就记住了这一句，这是最常见的勾股数。
但是后面呢？
（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41，）2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1
这些是最最最基础的数学，也不知道还有多少人记得。
恐怕十分之一的人都没有，更别提与勾股数相关联的其他数学公式定理与数据了。
如果在数学上没有天赋，学习起数学来，恐怕会相当痛苦。
那种一堂课掉了一支笔，捡起来后，数学就再也没跟上过节奏的，也不是什么离奇的事情。
宿舍中，徐川一边整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸，同时也在整理着自己近半年来所学习的一些知识。
“代数几何的一个基本结果是任意一个代数簇可以分解为不可约代数簇的并。这一分解称为不可缩的，如果任意一个不可约代数簇都不包含在其他代数簇中。”
“而在在构造性代数几何中，上述定理可以通过&nbp;ritt-吴特征列方法构造性实现，设为有理系数&nbp;n个变量的多项式集合，我们用&nbp;zer()表示&nbp;中多项式在复数域上的公共零点的集合，即代数簇。”
“”
“如果通过变量重新命名后可以写成如下形式
a?(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?)=i?y??d?+y?的低次项；
a?(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?，&nbp;y2)=&nbp;i?y??d?+y?的低次项；
······
“ap(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?，···，&nbp;yp)=&nbp;ip?yp+yp的低次项。”
“设&nbp;a&nbp;={a1···，&nbp;ap}、j为&nbp;ai的初式的乘积对于以上概念，定义at(a)={p|存在正整数&nbp;n使得&nbp;j&nbp;np∈(a)}”
稿纸上，徐川用圆珠笔将脑海中的一些知识点重新写了一遍。
今年上半年，他跟随着的德利涅和威腾两位导师，学到了相当多的东西。
特别是在数学领域中的群构、微分方程、代数、代数几何这几块，可以说极大的充实了自己。
而米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上，有着一部分微分代数簇相关的知识点，他现在正在整理的就是这方面的知识。
众所周知，代数簇是代数几何里最基本的研究对象。
而在代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。
20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展。
例如，德·拉姆的解析上同调理论，霍奇的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞的变形理论等等。
这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
而这其中，代数几何的核心代数簇也被随之应用到其他领域中，如今的代数簇已经以平行推广到代数微分方程，偏微分方程等领域。
但在代数簇中，依旧有着一些重要的问题没有解决。
其中最关键的两个分别是‘微分代数簇的不可缩分解’和‘差分代数簇的不可约分解’。
尽管ritt等数学家早在二十世纪三十年代就已经证明任意一个差分代数簇可以分解为不可约差分代数簇的并。
但是这一结果的构造性算法一直未能给出。
简单的来说，就是数学家们已经知道了结果是对的，却找不到一条可以对这个结果进行验算的路。
这样说虽然有些粗糙，但却是相当合适。
而在米尔扎哈尼教授的稿纸上，徐川看到了这位女菲尔兹奖得主朝这方面努力的一些心得。
应该是受到了此前他在普林斯顿交流会上的影响，米尔扎哈尼教授在尝试给定两个不可约微分升列&nbp;a1，&nbp;a2，判定&nbp;at(a1)是否包含&nbp;at(a2)。
这是‘微分代数簇的不可缩分解’的核心问题。
熟悉了整个稿纸，并且跟随德利涅教授在这方面深入学习过的他，很容易的就理解了米尔扎哈尼教授的想法。
在这个核心问题中，米尔扎哈尼教授提出了一个不算全新却也新颖的想法。
她试图通过构建一个代数群、子群和环面，来进一步做推进。
而建立这些东西所使用的灵感和方法，就来源于他之前在普林斯顿的交流会以及ey-berry猜想的证明论文上。
“很巧妙的方法，或许真的能将代数簇推广到代数微分方程上面去，可能过程会稍微曲折了一点”
盯着稿纸上的笔迹，徐川眼眸中流露出一丝兴趣，从桌上扯过一张打印纸，手中的圆珠笔在上面记录了起来。
“微分代数簇的不可缩分解问题从广义上来讲，其实已经被ritt-吴分解定理包含在内了。”
“但是ritt-吴分解定理在有限步内构造不可约升列a，并构建了诸多的分解，而在这些分解中，有些分支是多余的要想去掉这些多余分支，就需要计算&nbp;at(a)的生成基了。”
“因为归根到底，它最终可降解为ritt问题。即a是含有&nbp;n个变量的不可约微分多项式，判定(0，···，&nbp;0)是否属于&nbp;zer(at(a))。”
“”
手中的圆珠笔，一字一句的将心中的想法铺设在打印纸上。
这是开始解决问题前的基本工作，很多数学教授或者科研人员都有这样的习惯，并不是徐川的独有习惯。
将问题和自己的思路、想法清晰的用笔纸记录下来，然后详细的过一遍，整理一边。
这就像是写之前写大纲一样。
它能保证你在完结手中的书籍前，核心剧情都是一直围绕主线来进行的；而不至于离谱到原本是都市文娱文，写着写着就修仙去了。
搞数学比写稍稍好一点，数学不怕脑洞，怕的是你没有足够的基础知识和想法。
在数学问题上，偶尔一现的灵感和各种奇思妙想相当重要，一个灵感或者一个想法，有时候就可能解决一个世界难题。
当然，因为错误的想法，而将自己的研究陷入死路的也不少。
放到网文圈，这大抵就是写了一辈子，扑了一辈子还是个签约都难的小菜鸟，或者说写了无数本，百万字之前必定蹦书那种。
将脑海中的思路整理出来后，徐川就暂时先放下了手中的圆珠笔。
代数簇相关的东西，仅仅是米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上的一部分知识而已。他现在要做的是将这几十张稿纸全都整理出来，而不是一头扎进新的问题研究中。
尽管这个问题挠的他心头有些痒痒，恨不得现在就开始研究，但做事还是得有始有终。
花费了几天的时间，徐川妥善的将米尔扎哈尼教授留给他的稿纸全都整理了出来。
三四十页稿纸，看起来很多，真正的整理完成后，用不到五页纸就记录完整了。
原稿纸上真正精髓的想法和知识点其实并不多，多的是一些米尔扎哈尼教授随笔的计算数据，有用的主体基本都来源于ey-berry猜想的证明论文上使用的方法。
当然，米尔扎哈尼教授的学识肯定不止这点，但两人的交集就这点。
米尔扎哈尼教授能将这些东西遗留给他，徐川心里很感激。
因为这些稿纸，她完全可以留给自己的学生或者后人。
依照这些东西，如果继承者有一定能力的话，是有很大的概率是能继续在这上面做出些成绩出来的。
但米尔扎哈尼教授并没有私心，反而将这些东西送给了他这个仅仅见过一两面的‘陌生人’。
这大抵就是学术界的光辉吧。
将有用的东西整理出来后，徐川小心的将米尔扎哈尼教授留给他的原稿纸收纳起来，放进专门存放重要资料的书柜中。
这些东西，用再尊重的态度去对待都不为过，而且将来回国的时候，他必定会带回去。
处理完这些，徐川重新坐回了桌前。
像德利涅教授请的假还有两天的时间，与其提前回去，不如利用这个时间对‘微分代数簇的不可缩分解’问题做一下尝试。
这个问题的确很难，但是&nbp;ritt-吴分解定理已经将相应的微分代数簇分解为不可约微分代数簇，剩下的，就是进一步得到不可缩分解了。
如果在没有得到米尔扎哈尼教授的遗留前，他大抵是不会有朝这方面研究的想法的。
原本他的目标是朗兰兹纲领中的自守形式与自守函数，但现在，原先的目标稍稍放一下也没有关系。
而且‘微分代数簇的不可缩分解’领域是他今年上半年和德利涅教授学习的数学领域之一。
就用这个问题，来检验一下他的学习成果好了。
想着，徐川嘴角扬起了一抹自信的笑容。
用一个世界级的数学难题，来当做学习成果的检测题，这种话说出去大概率会被其他人当做狂妄自大。
但他有这样的自信。
这不是这辈子学习数学带来的，而是上辈子一路攀登高峰养成的。
从桌上取过一叠稿纸，徐川将之前整理出来的思路又看了一遍，而后沉吟了一下，转动了手中的圆珠笔。
“引入设是一个域，假设是代数闭的，设g是上的连通约化代数群，设y是g的bre子群的簇，设b∈y，设t是b的极大环面，设n是g中t的正规化子，设&nbp;=&nbp;n/t是ey群”
“对于任何˙&nbp;b，其中∈n代表”
“设∈&nbp;，设d(()；∈&nbp;&nbp;={&nbp;∈；()=&nbp;d}”
“存在唯一的γ∈&nbp;g，使得γn&nbp;g?之类的
每当γj∈&nbp;g，γjn&nbp;g?，有γ?γ&nbp;j。且，γ只取决于”
p:不知道怎么回事，之前没被审核过，最近连着又被审核了一次，晚上修改检查了好久才重发出来，今天晚上还有一章的。
。
这次整理，就不是粗略的过一遍了。
而是详细的去学习这些稿件中的知识，将其吸收转化成自己的智慧。
一名菲尔兹奖临终前的遗留，尽管只是一部分，也足够一个普通的数学家研究数年甚至是半生了。
对于徐川而言，这些遗留的稿纸中的计算并不是什么珍贵的东西，有数学基础，很多人都能计算推衍出来。
但这些公式与笔迹中遗留的思想和数学方法与路线，却弥足珍贵。
这些东西，哪怕还未成型，仅仅只是一些思路，也是很多数学家终一生都不见得能做出来的成果。
毕竟在所有的自然科学中，若要说依赖天赋的程度，数学无疑是站在金字塔尖的独一档。
哪怕是物理和化学，在依赖天赋的程度上都略逊色于数学。
可以说没有什么其他学科比数学更吃天赋了。
这是一门需要强大逻辑思维才能‘真正’学好的科目。
数学问题往往需要你发挥一定的创造力，从而解决陌生的问题。
如果老师的水平不够，而你又没能自己找到正确的方法和方向，很有可能白努力，越学越崩溃。
不止要有正向思维还要有逆向思维，在每个知识类别都有很多的公式，而这些公式之间却还有着巧妙的联系；记忆、计算、论证、空间、灵活、转变、各种你能在其他科目上找到的技巧几乎全部都会在数学上体现。
很多网友说，被数学支配的恐惧与年龄无关，从小时候自己学习怕，长大后辅导孩子依旧还怕。
也有网友说，人被逼急了什么事都能做得出来，数学题除外。
尽管这只是一些玩笑话，但数学确实是一门没有天赋、无法学好的学科。
或许你能在大学之前，依靠各种题海战术，名师的讲解拿到高考的满分，但进入大学或者更深入的学习后，你很快就会跟不上节奏。
哪怕花费再多的时间，尽最大努力，也不一定能理解某些数学主题的含义，也无法学习应用那些比高中更复杂的定理和公式。
比如勾股定理，这是进入初中就会学习的东西。
勾三股四弦五。
这是很多人的回忆。
然而很多人也就记住了这一句，这是最常见的勾股数。
但是后面呢？
（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41，）2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1
这些是最最最基础的数学，也不知道还有多少人记得。
恐怕十分之一的人都没有，更别提与勾股数相关联的其他数学公式定理与数据了。
如果在数学上没有天赋，学习起数学来，恐怕会相当痛苦。
那种一堂课掉了一支笔，捡起来后，数学就再也没跟上过节奏的，也不是什么离奇的事情。
宿舍中，徐川一边整理着米尔扎哈尼教授留给他的稿纸，同时也在整理着自己近半年来所学习的一些知识。
“代数几何的一个基本结果是任意一个代数簇可以分解为不可约代数簇的并。这一分解称为不可缩的，如果任意一个不可约代数簇都不包含在其他代数簇中。”
“而在在构造性代数几何中，上述定理可以通过&nbp;ritt-吴特征列方法构造性实现，设为有理系数&nbp;n个变量的多项式集合，我们用&nbp;zer()表示&nbp;中多项式在复数域上的公共零点的集合，即代数簇。”
“”
“如果通过变量重新命名后可以写成如下形式
a?(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?)=i?y??d?+y?的低次项；
a?(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?，&nbp;y2)=&nbp;i?y??d?+y?的低次项；
······
“ap(u?，···，&nbp;uq，&nbp;y?，···，&nbp;yp)=&nbp;ip?yp+yp的低次项。”
“设&nbp;a&nbp;={a1···，&nbp;ap}、j为&nbp;ai的初式的乘积对于以上概念，定义at(a)={p|存在正整数&nbp;n使得&nbp;j&nbp;np∈(a)}”
稿纸上，徐川用圆珠笔将脑海中的一些知识点重新写了一遍。
今年上半年，他跟随着的德利涅和威腾两位导师，学到了相当多的东西。
特别是在数学领域中的群构、微分方程、代数、代数几何这几块，可以说极大的充实了自己。
而米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上，有着一部分微分代数簇相关的知识点，他现在正在整理的就是这方面的知识。
众所周知，代数簇是代数几何里最基本的研究对象。
而在代数几何学上，代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。
20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展。
例如，德·拉姆的解析上同调理论，霍奇的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞的变形理论等等。
这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
而这其中，代数几何的核心代数簇也被随之应用到其他领域中，如今的代数簇已经以平行推广到代数微分方程，偏微分方程等领域。
但在代数簇中，依旧有着一些重要的问题没有解决。
其中最关键的两个分别是‘微分代数簇的不可缩分解’和‘差分代数簇的不可约分解’。
尽管ritt等数学家早在二十世纪三十年代就已经证明任意一个差分代数簇可以分解为不可约差分代数簇的并。
但是这一结果的构造性算法一直未能给出。
简单的来说，就是数学家们已经知道了结果是对的，却找不到一条可以对这个结果进行验算的路。
这样说虽然有些粗糙，但却是相当合适。
而在米尔扎哈尼教授的稿纸上，徐川看到了这位女菲尔兹奖得主朝这方面努力的一些心得。
应该是受到了此前他在普林斯顿交流会上的影响，米尔扎哈尼教授在尝试给定两个不可约微分升列&nbp;a1，&nbp;a2，判定&nbp;at(a1)是否包含&nbp;at(a2)。
这是‘微分代数簇的不可缩分解’的核心问题。
熟悉了整个稿纸，并且跟随德利涅教授在这方面深入学习过的他，很容易的就理解了米尔扎哈尼教授的想法。
在这个核心问题中，米尔扎哈尼教授提出了一个不算全新却也新颖的想法。
她试图通过构建一个代数群、子群和环面，来进一步做推进。
而建立这些东西所使用的灵感和方法，就来源于他之前在普林斯顿的交流会以及ey-berry猜想的证明论文上。
“很巧妙的方法，或许真的能将代数簇推广到代数微分方程上面去，可能过程会稍微曲折了一点”
盯着稿纸上的笔迹，徐川眼眸中流露出一丝兴趣，从桌上扯过一张打印纸，手中的圆珠笔在上面记录了起来。
“微分代数簇的不可缩分解问题从广义上来讲，其实已经被ritt-吴分解定理包含在内了。”
“但是ritt-吴分解定理在有限步内构造不可约升列a，并构建了诸多的分解，而在这些分解中，有些分支是多余的要想去掉这些多余分支，就需要计算&nbp;at(a)的生成基了。”
“因为归根到底，它最终可降解为ritt问题。即a是含有&nbp;n个变量的不可约微分多项式，判定(0，···，&nbp;0)是否属于&nbp;zer(at(a))。”
“”
手中的圆珠笔，一字一句的将心中的想法铺设在打印纸上。
这是开始解决问题前的基本工作，很多数学教授或者科研人员都有这样的习惯，并不是徐川的独有习惯。
将问题和自己的思路、想法清晰的用笔纸记录下来，然后详细的过一遍，整理一边。
这就像是写之前写大纲一样。
它能保证你在完结手中的书籍前，核心剧情都是一直围绕主线来进行的；而不至于离谱到原本是都市文娱文，写着写着就修仙去了。
搞数学比写稍稍好一点，数学不怕脑洞，怕的是你没有足够的基础知识和想法。
在数学问题上，偶尔一现的灵感和各种奇思妙想相当重要，一个灵感或者一个想法，有时候就可能解决一个世界难题。
当然，因为错误的想法，而将自己的研究陷入死路的也不少。
放到网文圈，这大抵就是写了一辈子，扑了一辈子还是个签约都难的小菜鸟，或者说写了无数本，百万字之前必定蹦书那种。
将脑海中的思路整理出来后，徐川就暂时先放下了手中的圆珠笔。
代数簇相关的东西，仅仅是米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上的一部分知识而已。他现在要做的是将这几十张稿纸全都整理出来，而不是一头扎进新的问题研究中。
尽管这个问题挠的他心头有些痒痒，恨不得现在就开始研究，但做事还是得有始有终。
花费了几天的时间，徐川妥善的将米尔扎哈尼教授留给他的稿纸全都整理了出来。
三四十页稿纸，看起来很多，真正的整理完成后，用不到五页纸就记录完整了。
原稿纸上真正精髓的想法和知识点其实并不多，多的是一些米尔扎哈尼教授随笔的计算数据，有用的主体基本都来源于ey-berry猜想的证明论文上使用的方法。
当然，米尔扎哈尼教授的学识肯定不止这点，但两人的交集就这点。
米尔扎哈尼教授能将这些东西遗留给他，徐川心里很感激。
因为这些稿纸，她完全可以留给自己的学生或者后人。
依照这些东西，如果继承者有一定能力的话，是有很大的概率是能继续在这上面做出些成绩出来的。
但米尔扎哈尼教授并没有私心，反而将这些东西送给了他这个仅仅见过一两面的‘陌生人’。
这大抵就是学术界的光辉吧。
将有用的东西整理出来后，徐川小心的将米尔扎哈尼教授留给他的原稿纸收纳起来，放进专门存放重要资料的书柜中。
这些东西，用再尊重的态度去对待都不为过，而且将来回国的时候，他必定会带回去。
处理完这些，徐川重新坐回了桌前。
像德利涅教授请的假还有两天的时间，与其提前回去，不如利用这个时间对‘微分代数簇的不可缩分解’问题做一下尝试。
这个问题的确很难，但是&nbp;ritt-吴分解定理已经将相应的微分代数簇分解为不可约微分代数簇，剩下的，就是进一步得到不可缩分解了。
如果在没有得到米尔扎哈尼教授的遗留前，他大抵是不会有朝这方面研究的想法的。
原本他的目标是朗兰兹纲领中的自守形式与自守函数，但现在，原先的目标稍稍放一下也没有关系。
而且‘微分代数簇的不可缩分解’领域是他今年上半年和德利涅教授学习的数学领域之一。
就用这个问题，来检验一下他的学习成果好了。
想着，徐川嘴角扬起了一抹自信的笑容。
用一个世界级的数学难题，来当做学习成果的检测题，这种话说出去大概率会被其他人当做狂妄自大。
但他有这样的自信。
这不是这辈子学习数学带来的，而是上辈子一路攀登高峰养成的。
从桌上取过一叠稿纸，徐川将之前整理出来的思路又看了一遍，而后沉吟了一下，转动了手中的圆珠笔。
“引入设是一个域，假设是代数闭的，设g是上的连通约化代数群，设y是g的bre子群的簇，设b∈y，设t是b的极大环面，设n是g中t的正规化子，设&nbp;=&nbp;n/t是ey群”
“对于任何˙&nbp;b，其中∈n代表”
“设∈&nbp;，设d(()；∈&nbp;&nbp;={&nbp;∈；()=&nbp;d}”
“存在唯一的γ∈&nbp;g，使得γn&nbp;g?之类的
每当γj∈&nbp;g，γjn&nbp;g?，有γ?γ&nbp;j。且，γ只取决于”
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